Следует отметить, что в реальных задачах, относящихся к практике автоматизированного управления или принятия управленческих решений при заданном отношении предпочтения на рассматриваемом множестве X вполне возможна ситуация, при которой может и не существовать четко недоминируемых альтернатив. В связи с этим сформулируем два типа условий их существования.
В условиях первого типа заданное нечеткое отношение предпочтения //п не предполагается транзитивным, однако на функцию принадлежности этого отношения и на само множество альтернатив X наложены некоторые топологические условия и требование выпуклости.
Условия второго типа сформулируем лишь для конечного множества альтернатив X и транзитивного нечеткого отношения предпочтения /и^.
Прежде чем перейти к рассмотрению условий первого типа, введем некоторые вспомогательные определения.
Определение 1. Пара (х^\}Р)еХ называется седловой
точкой функции ф(х9у), то есть функция одновременно достигает
в этой точке максимума по x и минимума по у или наоборот, если
при любых x, у е X выполняются следующие неравенства:
<р(х°,у)><р(х0,у°)>(р(х ,у°) (1)
Из определения седловой точки следует, что если (х®,у®) и
(х^9у^)~ две седловые точки функции (р{х9у)9 то (х^,Д^) и
(х^,^) также являются седловыми точками этой функции, причем
<р(х°,у1) = ф°,У°) = Ф1,У1) = <р{х\у°) • Определение 2. Функция ф{х,у) называется антисимметричной, если для \/х,уЕХ выполняется равенство
В дальнейшем будем использовать следующие важные свойства антисимметричной функции.
1)Если (х°,у°) - седловая точка функции ф{х,у), то
(х^,Х^) и (у® ,У®) - также ее седловые точки. Действительно, в соответствии с определением седловой точки можно записать, что С другой стороны, используя определение и свойство антисимметричности этой функции, получим, что
Сравнивая выражения (2) и (3), можно прийти к выводу, что из них следует, что
то есть другими словами, что и (у 9у ) действи-
тельно предтавляют собой седловые точки функции ф(х9у).
2) Поскольку функция (р{х9у) принимает одно и то же значение во всех своих седловых точках, то с учетом ее свойства антисимметричности можно показать, что (р(х® 9х®)—(р(<Х® 9Х®)=0.
Другими словами, антисимметричная функция в любой своей седловой точке принимает нулевое значение.
Archive for ноября, 2009
Условия существования четко недоминируемых альтернатив
Вторник, ноября 24, 2009Решение многокритериальных задач
Вторник, ноября 17, 2009В реальной практической деятельности и повседневной жизни человек часто сталкивается с необходимостью решения различных задач, в которых требуется максимизировать некоторую целевую функцию по целому ряду критериев. Подобные задачи принято относить к классу многокритериальных оптимизационных задач, и их решение представляет собой достаточно сложную проблему. Дело в том, что отдельные критерии могут быть противоречивыми и даже иметь противоположный смысл.
Например, на некоторую вакантную должность необходимо подобрать кандидата, который был бы молод, имел хорошее образование в области информационных технологий и определенный опыт управленческой работы. Вполне естественно, что требованиям молодости и хорошего образования в наибольшей степени отвечал бы недавний выпускник вуза. Действительно, поскольку в области информатики и компьютерной техники происходит быстрое обновление технологий, наилучшее их знание может показать человек, который их только что изучал (при условии, конечно, что содержание профессионального образования, квалификация преподавателей и используемые педагогические технологии в данном учебном заведении отвечают требованиям времени).
Требование же наличия опыта управленческой работы уже заведомо предполагает, что этот выпускник, скорее всего, не окажется среди числа кандидатов, которым будет отдано предпочтение. Ведь достаточно сложно студенту одновременно и хорошо учиться (а без этого он просто не может стать настоящим профессионалом), и работать по специальности, и при этом еще занимать определенную руководящую должность.
В технике подобная задача возникает, например, при проектировании и производстве изделий для авиации или космонавтики.
Там обычно требуется обеспечить высокую прочность и надежность изделий с их минимальными массогабаритными характеристиками.
Существующие подходы к решению задач
Вторник, ноября 10, 2009Существующие подходы к решению подобных задач объединяют идеи определенного согласования требований, предусматриваемых различными критериями. Обычно это достигается выбором некоторого компромиссного варианта, при котором значение целевой функции не по одному из критериев не достигает максимума, однако по каждому из них оно оказывается в определенном смысле вполне приемлемым с точки зрения степени удовлетворения нескольким различным (а, возможно, и всем) критериям.
При решении многокритериальных оптимизационных задач ситуация заметно усложняется, если критерии оптимизации имеют различную степень важности (или значимости). В этих случаях возникает необходимость согласования критериев с учетом степени важности каждого из них. Здесь на основе применения методов нахождения экстремума функции нескольких переменных используются различные способы свертки критериев.
Еще более сложный случай представляют собой многокритериальные задачи, решаемые в условиях неопределенности и относящиеся к классу нечетких. При этом нечеткость задачи может быть обусловлена нечеткостью цели и соответствующим нечетким описанием целевой функции. Нечеткими могут быть множества альтернатив, рациональный выбор из которых и представляет собой решение задачи, а также множества ограничений. Наконец, нечеткость задачи может быть следствием и нечеткости самих используемых критериев оптимальности.
Рассмотрение подходов к решению подобных многокритериальных задач нечеткой оптимизации и представляет собой основную цель данного раздела. При этом, как и обычно в случае нечетких множеств, нечеткость рассматриваемых критериев будем характеризовать с помощью их функций принадлежности. В некотором смысле такой подход можно сравнить с рассмотренным ранее случаем наличия нескольких ограничений, каждое из которых имеет различную степень важности.
Обобщенное нечеткое отношение на нечетких множествах
Понедельник, ноября 2, 2009Будем рассматривать следующую задачу. Пусть на некотором универсальном множестве X задано нечеткое отношение предпочтения Я с функцией принадлежности
и пусть К - класс всех нечетких подмножеств в множестве X, то есть класс всех функций принадлежности вида
у:Х->[0,1].
Необходимо определить, какое нечеткое отношение предпочтения индуцирует на класс У исходное нечеткое отношение предпочтения К
Введем в рассмотрение понятие обобщенного отношения.
Представляется вполне очевидным, что заданное на универ-сапьном множестве X нечеткое отношение предпочтения К можно
рассматривать как некоторое нечеткое отображение X—> У. Образ
любого элемента X® е X при таком отображении представляет собой некоторое нечеткое подмножество множества X с функцией
принадлежности //^(х^,х). По сути, функция описы-
вает нечеткое множество таких элементов множества Х9 свя-
занных с X® отношением Я, то есть таких X е X, что X® Кх
Пусть функция V! X —>[0Д] представляет собой некоторое нечеткое подмножество множества X. Тогда, согласно принципу обобщения, образ V при нечетком отображении //^ является нечетким подмножеством множества X с функцией принадлежности видаПостроенная таким образом функция 7](у,х) описывает нечеткое отображение X —> У и представляет собой обобщение исходного нечеткого отображения /Лд : X—> У. Нетрудно видеть, что
эта функция описывает обобщение исходного отношения К на множество Ух X. Иными словами, для фиксированного У^ е У
функция 7](Уо *Х) описывает нечеткое множество элементов X е X , связанных с У^ обобщенным отношением , то есть нечеткое множество таких X е X, что У^ К^х. Величина 7}(у^>х) •>
таким образом, представляет собой степень, с которой нечеткое множество У^ оказывается более предпочтительным, чем элемент х.