Основы передачи информации

Для того, чтобы обеспечить достаточную с точки зрения математики формализуемость задачи и более четко определиться с источниками и характером предпочтения, предварительно рассматривают те характерные свойства и качества альтернатив, а также те возможные результаты их выбора, которые именно и позволяют провести их попарное сравнение и соответственно выявить отношения предпочтения.
Рассмотрим свойства нечетких отношений предпочтения, на которые опираются существующие подходы к решению задач выбора альтернатив в теории автоматизированного управления и в теории принятии решений. Вначале введем четкую операцию сравнения Я альтернатив между собой. Пусть К - четкое отношение нестрогого предпочтения в некотором множестве X допустимых альтернатив. Это означает, что относительно любой пары альтернатив х,у е X может быть высказано одно из следующих утверждений:
1) х у 5 то есть х не хуже у. В этом случае (х9у) е К ;
2) у Ъг х, то есть у не хуже X. В этом случае (у, х) е К ;
3) х и у несравнимы между собой по рассматриваемому критерию. В этом случае (х,у) & К и (у9х) К .Наличие информации в такой форме уже позволяет сузить класс рациональных выборов, включив в него лишь те альтернативы X, которые не доминируются ни одной другой альтернативой из рассматриваемого их множества X.
Для того, чтобы понять, какие альтернативы следует считать недоминируемыми, выделим в общей структуре отношения предпочтения Я следующие два новых отношения:
г»
1) отношение строгого предпочтения К ;
2) отношение безразличия .
При этом по определению будем считать, что альтернатива х доминирует альтернативу у, то есть х является строго лучше чем у, если одновременно выполняется условие х >- у и не выполняется условие у х. Совокупность всех пар (х, у), удовлетворяющих этому условию, и будем называть отношением строгого пред-
почтения К на множестве X . Поскольку в этом случае выполняется условие
(х,у)еЯ~1 <=>0,х)еЯ,
то отношение строгого предпочтения 7? может быть записано в виде
Соответственно отношение безразличия К* определяется следующим образом: пара альтернатив х и у находятся в отношении
безразличия, то есть (х,у) е Я1, если не выполняется ни предпочтение х у, ни предпочтение у Ь= х, либо оба предпочтения выполняются одновременно. Другими словами, (х,у) е Я1, когда имеющейся об этой паре информации в форме отношения предпочтения недостаточно для того, чтобы ЛПР мог сделать обоснованный выбор между альтернативами х и у .

Отношение К на множестве X называется линейным, если этим отношением или обратным к нему отношением К'1 связаны любые две альтернативы х и у из рассматриваемого множества
X. Иными словами, при линейности отношения 7? на множестве X нет несравнимых между собой по соответствующему предпочтению альтернатив. В этом смысле линейность обычного отношения эквивалентна следующему условию:
К1)ВГ1=ХхХ. Это условие можно записать иначе в виде равенства
хКу - уКх,
где К - дополнение отношения К на декартовом произведении ХхХ.
Заметим, кстати, что в случае нечеткости отношения предпочтения К однозначно можно определить лишь полное отсутствие линейности, причем это можно сделать следующим образом.
Нечеткое отношение К с функцией принадлежности //^
(или, что то же самое, нечеткое отношение /Лд) не является линейным тогда и только тогда, когда найдутся две альтернативы X, у Е X, для которых выполняются равенства
Свойство линейности нечеткого отношения можно понимать более широко, чем в случае линейности обычного отношения в силу того, что функция принадлежности такого отношения может принимать кроме значений 0 и 1 и любые промежуточные значения. С учетом этого представляется целесообразным ввести понятие степени линейности нечеткого отношения.
Определение 1. Пусть ОСЕ [0,1]. - некоторое число из интервала [0,1]. Нечеткое отношение ц называется ОС-линейным,
если его функция принадлежности удовлетворяет условию
тах{^к(х,у);^к(у,х)}>а, \/х,уеХ.
Таким образом, если рассматриваемое на заданном множестве X нечеткое отношение предпочтения /Л^ является, например,
0,7-линейным, то из каждой пары альтернатив одна окажется не хуже другой со степенью, большей, чем 0,7.
Определение 2. Нечеткое отношение /Л^ называется сичьно
линейным, если его функция принадлежности удовлетворяет условию
тах {//Л (х, у); цк (у, х) } = 1 (1)
для любой пары альтернатив X, у Е X .
Свойство сильной линейности можно определить еще следующим образом: если
рк(х,у)>/*я(у,х),
то обязательно выполняется условие
Мх,у)=1. (2)
Нетрудно заметить, кроме того, что свойство сильной линейности оказывается эквивалентным условию
где /Л^ {у, X) - нечеткое отношение строгого предпочтения, которое означает, что в соответствии с критериями, определяемым отношением /Л^{у9х), альтернатива^ строго лучше альтернативы х.